數(shù)學(xué)中有哪些看起來(lái)很不可思議的知識(shí)？

先來(lái)看個(gè)公式吧，這個(gè)盡管不難證明，但是還蠻有趣的~ 

一.平面幾何篇

1.（i）九點(diǎn)圓定理：三角形三邊的中點(diǎn)，三條高的垂足，垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)這九點(diǎn)共圓。（九點(diǎn)圓又稱(chēng)歐拉圓、費(fèi)爾巴哈圓）

（ii）費(fèi)爾巴哈定理：三角形的九點(diǎn)圓與其內(nèi)切圓以及三個(gè)旁切圓相切。

（iii）庫(kù)里奇-大上定理：九點(diǎn)圓的圓周上（任意取定）四點(diǎn)中任取三點(diǎn)做三角形，所有這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心共圓。

2.西姆松（Simson）定理：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊或其延長(zhǎng)線上的垂線，則三垂足共線。（此線常稱(chēng)為西姆松線）

3.蝴蝶定理：設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過(guò)M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交PQ于點(diǎn)X和Y，則M是XY的中點(diǎn)。（配個(gè)圖啦啦啦~） 

4.君知物理學(xué)中有家喻戶曉的牛頓三大定律，殊不知平面幾何中也有牛頓三大定理（別鬧，當(dāng)然是同一個(gè)牛頓），想當(dāng)年剛知道時(shí)簡(jiǎn)直膜拜~

牛頓定理1：完全四邊形三條對(duì)角線中點(diǎn)共線。

牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。推廣：和完全四邊形四邊相切的有心圓錐曲線的心的軌跡是一條直線,是完全四邊形三條對(duì)角線中點(diǎn)所共的線。

牛頓定理3：圓的外切四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對(duì)角線交點(diǎn)重合。（四線共點(diǎn)）

5.帕斯卡（Pascal）定理：圓錐曲線內(nèi)接六邊形其三對(duì)邊的交點(diǎn)共線，與布列安桑定理對(duì)偶，是帕普斯定理的推廣。（至于后面兩個(gè)是什么，戳進(jìn)去看就好了，當(dāng)年也只是知道是什么并沒(méi)有用過(guò)~）

6.根心定理：三個(gè)兩兩不同心的圓，形成三條根軸，則要么三根軸兩兩平行，要么三根軸完全重合，否則三根軸兩兩相交，即此時(shí)三根軸必交于一點(diǎn)（三線共點(diǎn)），該點(diǎn)稱(chēng)為三圓的根心。（根軸是對(duì)兩圓等冪的點(diǎn)集，是一條垂直于連心線的直線，特殊情形：若兩圓相交，則根軸就是連接二公共點(diǎn)的直線；若兩圓相切，則根軸就是過(guò)切點(diǎn)的公切線；）

7.五點(diǎn)共圓：（具體追根溯源請(qǐng)搜索密克（Miquel）定理）（不會(huì)證的孩紙還是先不要膜了，趕緊多讀書(shū)，不然還是naive~~）

2000年12月20日，江澤民主席出席澳門(mén)回歸祖國(guó)一周年慶典活動(dòng)期間，在參觀濠江中學(xué)時(shí)向該校師生出了一道求證“五點(diǎn)共圓”的平面幾何題：“假設(shè)：任意一個(gè)星形，五個(gè)三角形，外接圓交于五點(diǎn)。求證：這五點(diǎn)共圓?！?/p>

江主席出的這道平面幾何題用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是這樣的：在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圓順次相交的交點(diǎn)分別為K、O、N、M、L。求證：K、O、N、M、L五點(diǎn)共圓。（確實(shí)很神奇~~） 

8.雞爪定理（我也想知道有沒(méi)有好聽(tīng)一點(diǎn)的名字啊親~）：設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，∠A內(nèi)的旁心為J，AI的延長(zhǎng)線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC。（注意紅線的形狀） 

9.拿破侖（Napoléon）定理（據(jù)說(shuō)是行軍打仗時(shí)證明的，也是厲害）：向任何三角形三邊分別向外側(cè)作等邊三角形，然后把這三個(gè)正三角形的中心連結(jié)起來(lái)所構(gòu)成的三角形一定是等邊三角形。

這一定理可以等價(jià)描述為：若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為60°的等腰三角形，則它們的中心構(gòu)成一個(gè)等邊三角形。

一些引申：

1）四邊形上，類(lèi)似的定理為凡·奧貝爾定理。

2）拿破侖定理本身為佩特諾-伊曼-道格拉斯定理的特例。

3）內(nèi)拿破侖三角形的面積大于等于 0 給出外森比克不等式。

10.莫利（Morley）定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱(chēng)作莫利正三角形。

（題外話：聽(tīng)高中同學(xué)說(shuō)，某老師在外邊上課給純良的男孩紙們講：跟喜歡的女孩紙說(shuō)隨便畫(huà)一個(gè)三角形，如果它的角三分線交點(diǎn)恰好是正三角形，就證明對(duì)她的愛(ài)是真心的。我向那個(gè)高中同學(xué)當(dāng)即表示，這就是紅果果的欺騙啊~現(xiàn)在終于明白為什么自己還在汪汪汪了~~~）

11.歐拉線定理：任意三角形的外心、重心、垂心、九點(diǎn)圓圓心，依次位于同一直線上。（這條直線就叫三角形的歐拉線，且外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半）

12.沢山定理：圓P與圓O的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD切于E、F，同時(shí)與圓O相切，則E、F與△ABD、△ACD的內(nèi)心I、I'共線（四點(diǎn)共線）。

二.初等代數(shù)篇

1.歐拉公式：（出于對(duì)歐拉大神的無(wú)比景仰崇拜以及對(duì)這個(gè)公式特有的贊賞，答主一定要把它先放出來(lái)，不過(guò)對(duì)大家來(lái)講也許太熟悉了~）

 ，由此有一個(gè)經(jīng)常被稱(chēng)作所謂“上帝公式”的恒等式（得名源于將五個(gè)基本常數(shù)匯聚一堂）：  

2.（i）對(duì)于任意的自然數(shù)n， 的值都是一個(gè)正整數(shù)。

（ii）對(duì)于任意的自然數(shù)n， 能被 整除。

三.組合數(shù)學(xué)篇

1.對(duì)于簡(jiǎn)單多面體。設(shè)V為頂點(diǎn)數(shù)，E為棱數(shù)，F(xiàn)是面數(shù)，則 。

對(duì)任意的平面圖，歐拉公式可以推廣為： ，其中C為圖中連通分支數(shù)。

對(duì)非平面圖，歐拉公式可以推廣為：如果一個(gè)圖可以被嵌入一個(gè)流形M，則： ， 是此流形的歐拉示性數(shù)，在流形的連續(xù)變形下是不變量。單連通流形（例如球面或平面）的歐拉特征值是2。

2.正多面體只有五種：正四面體、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體。

四、數(shù)學(xué)分析篇

1. 調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的，然而：

 

其實(shí)這些都是所謂的Riemann zeta function的特例，這個(gè)函數(shù)定義如下： 

回到這部分開(kāi)始給出的兩個(gè)等式，用Zeta函數(shù)的形式就分別為 

事實(shí)上，我們還有  

嗯，聰明的你一定會(huì)想到，肯定有個(gè)統(tǒng)一的公式！！好的，獎(jiǎng)勵(lì)你一顆糖，哦不，一個(gè)公式： 

式中的 是偶數(shù)項(xiàng)的Bernoulli數(shù)（每一項(xiàng)都是有理數(shù)，n>1的奇數(shù)n項(xiàng)均為0，其余請(qǐng)自行學(xué)習(xí)Bernoulli number），總的來(lái)講結(jié)果很美麗。如果你還知道生成函數(shù)概念的話，下面的結(jié)論希望你喜歡： 

被驚艷到了有木有??！可是對(duì)于奇數(shù)的s,就沒(méi)有這樣漂亮的結(jié)果了，舉個(gè)還算能看的例子： 

 這個(gè)函數(shù)實(shí)在是包羅萬(wàn)象，十分迷人，許多很好的性質(zhì)和漂亮的結(jié)論（上面的結(jié)果就是），甚至對(duì)于s=-1時(shí)，還有以下這個(gè)著名的等式： 

特別說(shuō)明，s=-1時(shí)的情況是解析延拓意義下的，上面這個(gè)式子的等號(hào)的含義也和我們通常熟知的情形不同，然而大部分人看過(guò)的所謂的加加減減的證明更是民科之至，當(dāng)作個(gè)好玩的東西就可以了，那種證明是錯(cuò)誤的，為了不偏題太遠(yuǎn)，不展開(kāi)說(shuō)了。它的一般結(jié)果為： 

由Bernoulli數(shù)的性質(zhì)就有 

還有更多奇妙的性質(zhì)，大家自行去wiki吧，哈哈~（復(fù)變函數(shù)簡(jiǎn)直打開(kāi)了新世界的大門(mén)~~）

五、數(shù)論篇

1. Fermat大定理推廣形式的恒等式：（以勾股定理為[2,2]型，F(xiàn)ermat大定理為[2,n]型為例）

(1). [3,3]型： 

(2). [4,4]型： 

(3). [4,5]型： 

(4). [5,5]型： 

(5). [7,7]型： 

(6). [8,8]型： 

(7). [3,4]型：（無(wú)窮多個(gè)，太大就不寫(xiě)在下面了，反正也不夠漂亮了） 

2. 整冪次和的其他恒等式：

(1). Euler四平方和恒等式及Lagrange的四平方和定理：前者的表述為“如果兩個(gè)數(shù)都能表示為四個(gè)平方數(shù)的和，則這兩個(gè)數(shù)的積也能表示為四個(gè)平方數(shù)的和?！焙笳邉t為“每一個(gè)正整數(shù)都可以表示為四個(gè)平方數(shù)之和?！?/p>

(2).Brahmagupta-Fibonacci定理： 

例如： 

(3).