示波器的FFT功能簡(jiǎn)介：在開關(guān)轉(zhuǎn)換器的設(shè)計(jì)、評(píng)估與偵錯(cuò)應(yīng)用。
現(xiàn)今的示波器除了能觀察信號(hào)的時(shí)域波形之外，還能經(jīng)由內(nèi)建的快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform；FFT）功能觀察信號(hào)的頻譜。本文將介紹如何在示波器上設(shè)定快速傅立葉變換功能，并將此功能有效地應(yīng)用于開關(guān)轉(zhuǎn)換器的設(shè)計(jì)與偵錯(cuò)上。 

一. 前言
現(xiàn)今在開關(guān)轉(zhuǎn)換器的設(shè)計(jì)、評(píng)估及除錯(cuò)的過程中，若需使用到頻域的量測(cè)，通常都會(huì)使用專用的儀器，如使用網(wǎng)絡(luò)分析儀（Network Analyzer）量測(cè)轉(zhuǎn)換器之環(huán)路增益（loop gain）和使用EMI接收機(jī)（EMI Receiver）量測(cè)轉(zhuǎn)換器是否符合電磁干擾的相關(guān)法規(guī)等。

近年來隨著示波器功能的提升，快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform；FFT）已是示波器的標(biāo)準(zhǔn)配備，使得電源工程師可以在一臺(tái)示波器上同時(shí)觀察訊號(hào)的時(shí)域波形及頻域成份。藉由頻域上分析電路的電壓和電流波形，掌握突波（spike）的頻率分布，可使電源工程師在解決EMI問題時(shí)，能針對(duì)特定頻率去做改善。除此之外，透過示波器之FFT功能來觀測(cè)電解電容的電流頻譜，分離不同頻率下的電容電流大小，也有助于預(yù)估電容之壽命。

本文將介紹何謂FFT及如何在示波器上設(shè)定FFT功能，并將以標(biāo)準(zhǔn)波形作操作示范。最后，將示范如何將FFT功能應(yīng)用于電源供應(yīng)器的設(shè)計(jì)與偵錯(cuò)上。本文中之示范操作皆使用Rohde & Schwarz公司的RTE 1054示波器，并搭配其所附之軟件RTO Scan。

二. FFT介紹與示波器的功能限制
眾所皆知，傅立葉分析可以對(duì)時(shí)域信號(hào)做頻率拆解，其中離散的傅立葉分析可依據(jù)時(shí)域信號(hào)是否具有周期性，而分成離散時(shí)間傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform；DTFT）和離散傅立葉變換（Discrete Fourier Transform；DFT），由于DTFT轉(zhuǎn)換出來的頻域函數(shù)是連續(xù)頻譜，這代表非周期性的時(shí)域信號(hào)需要由無窮多組不同頻率的弦波組成，而DFT轉(zhuǎn)換出來的頻域函數(shù)則為離散頻譜，可視為對(duì)DTFT出來的頻譜作等間隔取樣。在實(shí)際應(yīng)用上，微處理器的內(nèi)存有限，只能處理有限的數(shù)據(jù)量，所以微處理器在進(jìn)行傅立葉變換時(shí)只能采用DFT的方式。而FFT則是能夠有效降低DFT運(yùn)算復(fù)雜度和運(yùn)算時(shí)間的一種算法，至今被廣泛的使用在各科學(xué)領(lǐng)域及示波器上。

本章節(jié)會(huì)介紹在示波器設(shè)定上會(huì)用到的名詞、對(duì)應(yīng)關(guān)系和設(shè)定上的限制，并以標(biāo)準(zhǔn)波形（正弦波與方波）使為操作范例。

1. 示波器的FFT功能與限制
圖1為RTE 1054示波器FFT設(shè)定的用戶接口，紅框內(nèi)的參數(shù)為一般示波器在使用FFT功能時(shí)需要設(shè)定的參數(shù)。其中，中心頻率（Center frequency）、頻率跨距（Frequency span）、起始頻率（Start frequency）和終止頻率（Stop frequency）之間有連動(dòng)關(guān)系，因此只需設(shè)定中心頻率和頻率跨距。為兼顧FFT頻譜的分辨率和振幅量測(cè)，將Window type設(shè)定為Hamming，而其余參數(shù)設(shè)定則將一一說明其功能。

圖1、RTE 1054示波器FFT設(shè)定接口

A. 解析帶寬（Resolution Bandwidth；Resolution BW；RBW）
解析帶寬為FFT頻譜之最小頻率間隔（?f），及決定FFT頻譜的分辨率，模擬于時(shí)域波形中的取樣周期（sampling time；?t）；解析帶寬越窄表示頻譜的分辨率越高。而解析帶寬與示波器時(shí)域波形的紀(jì)錄長(zhǎng)度，或稱「擷取時(shí)間」（capture time）為倒數(shù)關(guān)系，所以調(diào)整示波器的擷取時(shí)間會(huì)改變解析帶寬。

圖2、FFT解析帶寬示意圖

B. 擷取時(shí)間（Capture time）
如上所述，擷取時(shí)間為示波器時(shí)域波形的紀(jì)錄長(zhǎng)度，即示波器屏幕上顯示波形的時(shí)間總和，其值為時(shí)間檔位（Time/div）乘上示波器橫軸格數(shù)，且與解析帶寬為倒數(shù)關(guān)系。

圖3、示波器擷取時(shí)間示意圖

C. 中心頻率（Center frequency；fCenter）、起始頻率（Start frequency；fStart）及終止頻率（Stop frequency；fStop）
中心頻率為FFT頻譜中橫軸所顯示的中間頻率值；中心頻率、起始頻率及終止頻率關(guān)系可參考圖4及式（1）。終止頻率的設(shè)定需考慮到稍后介紹的取樣率，簡(jiǎn)言之，需小于取樣率的一半。

（1）

D. 頻率跨距（Frequency span）
頻率跨距為FFT頻譜顯示的范圍，也就是頻譜中橫軸所顯示之終止頻率（fStop）和起始頻率（fStart）的差值，如圖4所示。

圖4、FFT頻率跨距示意圖

E. 取樣率（Sampling rate；fSampling）
取樣率和示波器之時(shí)域波形分辨率有關(guān)，如圖5所示。取樣率為取樣周期（?t）的倒數(shù)；取樣率越高，取樣周期即越小，示波器上所呈現(xiàn)的波形分辨率就越高。在使用示波器FFT功能時(shí)，必須注意奈奎斯特取樣定理（Nyquist Sampling Theorem），即取樣率需大于兩倍的終止頻率。

圖5、示波器取樣率示意圖

了解上述名詞之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系后，可以發(fā)現(xiàn)如果想要獲得一個(gè)分辨率較高的FFT頻譜，必須將示波器時(shí)間檔位（Time/div）調(diào)大，以增加屏幕擷取時(shí)間，取得較窄的解析帶寬。然而每一臺(tái)示波器皆有最大取樣點(diǎn)數(shù)（sampling point）之限制，例如本文中所使用的RTE 1054示波器之最大取樣點(diǎn)數(shù)為40 MSa。

擷取時(shí)間的增加會(huì)造成取樣點(diǎn)數(shù)增加，但若已達(dá)示波器之最大取樣點(diǎn)數(shù)，由取樣點(diǎn)數(shù)=擷取時(shí)間╳取樣率的關(guān)系式，得知取樣率則被迫降低。而當(dāng)取樣率被降低時(shí)，因?yàn)樾璺螻yquist Sampling Theorem，可能會(huì)影響到FFT頻譜之終止頻率，進(jìn)而影響到FFT頻譜的中心頻率和頻率跨距的大小，使用上須特別注意這些設(shè)定。

舉例來說，若要在一個(gè)最大取樣點(diǎn)數(shù)為1 MSa的示波器上觀察解析帶寬為1 kHz的FFT頻譜，由式（2）至（4）可計(jì)算出示波器的擷取時(shí)間至少要1 ms，取樣率只能到1 GSa/s，而FFT頻譜上的終止頻率最高就只能到500 MHz。如果想要觀察500 MHz以上的頻率，就只能加大解析帶寬或是使用擁有更大的最大取樣點(diǎn)數(shù)的示波器。

（2）

（3）

（4）

2. 標(biāo)準(zhǔn)波形的FTT范例
標(biāo)準(zhǔn)波形FFT實(shí)驗(yàn)皆使用Tektronix AFG3021B波形產(chǎn)生器產(chǎn)生頻率100 kHz、峰至峰值400 mV之正弦波和方波作觀察。從正弦波的FFT頻譜，可以厘清示波器縱軸單位是采用波形電壓的峰值、平均值或方均根值做計(jì)算；而方波的FFT頻譜則可用來觀察不同的上升、下降時(shí)間對(duì)波形在頻域的影響。

A. 正弦波
使用示波器觀察正弦波FFT頻譜，假設(shè)頻譜之解析帶寬為5 kHz，頻譜范圍設(shè)定在10 kHz到30 MHz。首先，根據(jù)解析帶寬可以推算出示波器的擷取時(shí)間為200 μs，因此示波器的時(shí)間檔位至少要20 μs/div。由頻譜范圍可以觀察到頻率跨距約為30 MHz，中心頻率約為15 MHz，為滿足Nyquist Sampling Theorem，取樣率至少要60 MSa/s。圖6為正弦波之FFT頻譜，從圖上可以觀察到主要頻率成份確實(shí)是在100 kHz，其幅值為

 （5）

由上述計(jì)算可得知示波器頻譜上所示之縱軸幅值是采用信號(hào)之方均根值做計(jì)算。

圖6、正弦波頻譜

B. 方波
固定示波器FFT設(shè)定，由波形產(chǎn)生器產(chǎn)生一工作周期50 %的方波，并將方波之上升時(shí)間（tr）及下降時(shí)間（tf）設(shè)定至波形產(chǎn)生器之最小值（18ns）。圖7為此方波之FFT頻譜，可以觀察到方波之頻譜包絡(luò)（spectral envelope）線在中低頻時(shí)，以-20 dB/dec的斜率衰減；當(dāng)頻率大于轉(zhuǎn)折頻率（fc）時(shí)，則會(huì)以-40B/dec的斜率降低。其轉(zhuǎn)折頻率之計(jì)算公式為

 （6）

將方波之上升、下降時(shí)間代入上述公式，可以計(jì)算出上升、下降時(shí)間為18 ns的方波轉(zhuǎn)折頻率（fc1）為17.7 MHz。

圖7、上升及下降時(shí)間為18 ns之方波頻譜

如果將上升及下降時(shí)間增加至100 ns，透過轉(zhuǎn)折頻率的公式可以計(jì)算出新的轉(zhuǎn)折頻率（fc2）降低至3.18 MHz，圖8為上升及下降時(shí)間為100 ns之方波頻譜。

圖8、上升及下降時(shí)間為100 ns之方波頻譜

比對(duì)圖7和圖8兩張方波FFT頻譜，可以發(fā)現(xiàn)如果方波的上升、下降時(shí)間越長(zhǎng)，轉(zhuǎn)折頻率會(huì)越低，高頻成份就會(huì)衰減越多，這也從頻域的觀點(diǎn)說明了加大開關(guān)轉(zhuǎn)換器的MOSFET閘極驅(qū)動(dòng)電阻（gate resistor；Rg）可使EMI濾波器比較容易設(shè)計(jì)，因MOSFET的驅(qū)動(dòng)信號(hào)的斜率變緩，以上圖來看，轉(zhuǎn)折頻率因而降低，能讓電路上的高頻噪聲被衰減得更多。

三. 范例
本章以交流轉(zhuǎn)直流返馳式轉(zhuǎn)換器搭配立锜科技之控制芯片RT7736為范例，其輸入電壓為90 - 265 Vac、輸出電壓為12 V、輸出功率為24 W的，針對(duì)轉(zhuǎn)換器之MOSFET電壓、輸出二極管電壓、輸出電壓漣波、輸出電容電流及輸入電容電流波形做FFT頻譜分析，并從頻率域的角度觀察各波形特性。返馳式轉(zhuǎn)換器常會(huì)在變壓器一次側(cè)和輸出二極管分別并聯(lián)RCD電壓箝位電路（voltage clamp circuit）和RC緩振電路（snubber circuit），如圖9所示。由于傳導(dǎo)電磁干擾（conducted EMI）法規(guī)所規(guī)范之最高頻率為30 MHz，因此將示波器的FFT頻譜范圍設(shè)定為10 kHz到30 MHz，取樣率為100 MSa/s，解析帶寬為1 kHz。

圖9、返馳式轉(zhuǎn)換器示意圖

1. MOSFET之電壓
由于RT7736內(nèi)建智慧抖頻（SmartJitter?）功能，開關(guān)頻率有±6 %的變動(dòng)范圍，使其頻率成份擴(kuò)散成柱狀，而非在單一頻率上。圖10為滿載時(shí)MOSFET電壓波形的FFT頻譜，從65 kHz附近開始出現(xiàn)開關(guān)頻率及其諧波的低頻成份。在滿載時(shí)，變壓器的激磁電感（magnetizing inductance）工作在連續(xù)導(dǎo)通模式（continuous conduction mode；CCM），MOSFET電壓可近似為一方波，因此在中低頻的地方，幅值以-20 dB/dec的斜率衰減。在5 MHz附近，幅值出現(xiàn)抬升，則是因?yàn)樵贛OSFET關(guān)閉瞬間，漏電感電流在MOSFET上產(chǎn)生之高頻電壓突尖（voltage spike）。

圖10、滿載時(shí)MOSFET電壓波形之FFT頻譜

當(dāng)負(fù)載減輕時(shí)，開關(guān)頻率逐漸降低，激磁電感的操作模式從連續(xù)導(dǎo)通模式轉(zhuǎn)成不連續(xù)導(dǎo)通模式（discontinuous conduction mode；DCM），由圖11可以發(fā)現(xiàn)在輸出電流降到0.5 A時(shí)，開關(guān)頻率只有26 kHz，由于在DCM操作的關(guān)系，激磁電感和汲極電容產(chǎn)生的振鈴（ringing）變化亦會(huì)反映在MOSFET電壓波形上，因此在頻譜上也能看到在振鈴頻率（fDCM）附近的幅值也出現(xiàn)抬升。

圖11、輕載時(shí)MOSFET電壓波形之FFT頻譜

圖12為輕載時(shí)未加RCD電壓箝位電路的MOSFET電壓頻譜，由于移除RCD電壓箝位電路后，漏電感電流在MOSFET關(guān)閉瞬間少了一條宣泄的路徑，漏電感電流全部都流進(jìn)MOSFET的輸出電容（Coss），因而產(chǎn)生更高的電壓突尖。比對(duì)圖11和圖12可以觀察到RCD電壓箝位電路主要作用在電壓突尖的頻率（5 MHz）附近，衰減了10 dB，在中低頻段則無明顯變化。

圖12、輕載時(shí)未加RCD電壓箝位電路的MOSFET波形電壓之FFT頻譜

2. 輸出二極管之電壓
通常輸出二極管兩端會(huì)并聯(lián)一組RC緩振電路，其目的是為了吸收在MOSFET導(dǎo)通瞬間，因輸出二極管的逆向回復(fù)電流（reverse recovery current）產(chǎn)生的高頻電壓突尖。在設(shè)計(jì)緩振電路時(shí)，需要先知道電壓突尖的頻率，以往是使用示波器將時(shí)域波形展開并用光標(biāo)功能進(jìn)行讀值。本文則提供另一種方法：從波形FFT頻譜找出電壓突尖之頻率。圖13為滿載時(shí)未加裝RC緩振電路的輸出二極管電壓頻譜，圖中顯示電壓突尖的頻率為21 MHz，由此可以設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)之RC緩振電路了。

圖13、滿載時(shí)未加裝RC緩振電路的輸出二極管電壓波形之FFT頻譜

圖14為加裝RC緩振電路后的輸出二極管電壓頻譜；比對(duì)兩張F(tuán)FT頻譜，可以看到RC緩振電路的抑制效果。由于此時(shí)輸出二極管電壓波形和操作在CCM的MOSFET電壓相似，從圖14可以看到在中低頻段時(shí)，輸出二極管電壓頻譜一樣是呈現(xiàn)-20 dB/dec的衰減斜率，在高頻時(shí)，則是以-40 dB/dec的衰減斜率。

圖14、滿載時(shí)加裝RC緩振電路的輸出二極管電壓波形之FFT頻譜

3. 輸入電容之電流
在實(shí)際應(yīng)用上，鋁質(zhì)電解電容（aluminum electrolytic capacitor）經(jīng)常被用于輸入電容和輸出電容，其壽命與環(huán)境和電氣特性有密切的關(guān)系。常見的液態(tài)鋁質(zhì)電解電容壽命估算式為

（7）

其中，LX為待估算之電容壽命，LO為廠商提供之保證壽命，KTemp為周溫修正系數(shù)，KVoltage為電壓修正系數(shù)，IC_rms為流進(jìn)電容之漣波電流（RMS），IRated為額定最大容許電流（RMS）。從估算式可以觀察到在預(yù)估電解電容的壽命時(shí)，需要計(jì)算漣波電流（ripple current）的方均根值。

由于電解電容的等效串聯(lián)電阻（equivalent series resistor；ESR）會(huì)隨著漣波電流的頻率改變，不同頻率下的漣波電流耐受度皆不相同，為了獲得較準(zhǔn)確的壽命估算，在計(jì)算時(shí)不會(huì)使用示波器直接量測(cè)時(shí)域波形的方均根值，而是將電流波形做FFT分析，把不同頻率下的電流成份等效至120 Hz下去作計(jì)算，其等效之電容漣波電流為

 （8）

圖15和圖16分別為輸入電容電流波形之FFT頻譜與RUBYCON提供之鋁質(zhì)電解電容漣波電流系數(shù)修正表。

（a）

（b）

圖15、滿載時(shí)輸入電容電流波形之FFT頻譜   （a）10 Hz - 100 kHz   （b）10 kHz - 30 MHz

圖16、RUBYCON提供之400 V鋁質(zhì)電解電容漣波電流系數(shù)修正表

4. 輸出電容之電流
圖17為滿載時(shí)輸出電容電流波形之FFT頻譜，其壽命估算方式與輸入電容相同。比對(duì)輸入和輸出電容的電流的頻譜，可以觀察到經(jīng)過一個(gè)交流轉(zhuǎn)直流的轉(zhuǎn)換器之后，電容電流的主要成份從低頻的市電頻率轉(zhuǎn)變成高頻的開關(guān)頻率。

（a）

（b）

圖17、滿載時(shí)輸出電容電流波形之FFT頻譜   （a）10 Hz - 100 kHz   （b）10 kHz - 30 MHz

四. 對(duì)EMI的影響

在上一章介紹了交流轉(zhuǎn)直流返馳式轉(zhuǎn)換器的許多組件上電壓或電流波形頻譜，也在頻域上看到MOSFET的RCD電壓箝位電路和輸出二極管的RC緩振電路的功效。本章將探討RCD電壓箝位電路對(duì)于MOSFET電壓頻譜上抑制之幅值，在EMI頻譜上是否會(huì)有相同的效果。

由于傳導(dǎo)EMI的法規(guī)限制，在進(jìn)行FFT頻譜與EMI頻譜比對(duì)前，需先將示波器的設(shè)定調(diào)整成與EMI接收機(jī)相同，因此將FFT頻譜范圍設(shè)為150 kHz至30 MHz，解析帶寬為9 kHz，示波器擷取時(shí)間為20 ms，取樣率設(shè)定在100 MSa/s。圖18及圖19分別為加裝RCD電壓箝位電路前后之MOSFET電壓頻譜比較圖和EMI頻譜比較圖，其量測(cè)條件皆為輸入電壓為115 Vac、輸出電流為2 A，可以很明顯的觀察到緩振電路在FFT頻譜上5 MHz附近衰減約10 dB，此衰減量同樣會(huì)呈現(xiàn)在EMI頻譜上。

圖18、加裝RCD電壓箝位電路前后之MOSFET電壓FFT頻譜比較圖

圖19、加裝RCD電壓箝位電路前后之EMI頻譜比較圖

由這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得知抑制電路上的電壓突尖和電流突尖（current spike）確實(shí)能有效降低特定頻率的EMI噪聲。往后若想進(jìn)行特定頻率的EMI偵錯(cuò)時(shí)，可試著用示波器的FFT功能以快速掌握電路上突波的頻率，而能更有效地解決問題。

五. 結(jié)論
本文討論了FFT功能在示波器上的設(shè)定及限制，也使用了標(biāo)準(zhǔn)波形進(jìn)行示波器的操作示范，經(jīng)由標(biāo)準(zhǔn)波形的實(shí)驗(yàn)厘清了頻譜的坐標(biāo)單位。此外透過返馳式轉(zhuǎn)換器的量測(cè)實(shí)例，了解到了電解電容壽命的估算方式和電壓箝位電路及緩振電路在EMI議題上關(guān)聯(lián)及重要性，同時(shí)證實(shí)了示波器的FFT功能應(yīng)用于電源轉(zhuǎn)換器的設(shè)計(jì)與偵錯(cuò)是可行的。

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